2026 TYT Matematik Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı
1 hap bilgi · 6 kilit bilgi
Çarpanlara ayırma işleminin ne anlama geldiği, tersi olan genişletme ile ilişkisi ve tam sayılarda çarpan bulma yaklaşımı anlatılır. Ayrıca bölen ararken hangi sayıların denenmesinin yeterli olduğu ve bir örnek asal çarpanlara ayırma gösterilir.
Kavramın anlamı
Çarpanlara ayırma, bir ifadeyi onu oluşturan çarpanların çarpımı biçiminde yazma işlemidir. Bu ifade bir polinom, bir tam sayı ya da bir matris olabilir. Ortak fikir, tek bir bütün olarak görünen yapıyı, onu meydana getiren parçaların çarpımı halinde göstermektir. Böylece sayı veya ifade, yeni bir şey eklenmeden sadece farklı bir gösterimle yazılmış olur.
Ters ilişki
Bu işlemin tersi genişletmedir. Yani çarpanlara ayrılmış bir yapı genişletildiğinde yeniden tek parça hâline gelir. Bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak, aynı yapının çarpım biçimine geçmek demektir; genişletme ise çarpım biçiminden yeniden toplama ya da birleşik biçime dönmeyi sağlar. Bu yüzden iki işlem birbirinin ters yönde çalışan gösterim değişiklikleri gibi düşünülebilir.
Tam sayılarda yöntem
Bir tam sayıyı çarpanlara ayırırken önce bir bölen bulunur, sonra aynı yöntem kalan çarpanlara tekrar uygulanır. Yani işlem bir kez bölen bulmakla bitmez; bulunan bölen ve elde edilen bölüm üzerinde aynı düşünme sürdürülür. Bu yaklaşım, sayıyı adım adım daha küçük parçalara ayırır ve sonunda tüm çarpanlar ortaya çıkar.
Bölen seçimi
Bir sayının bölenini ararken q için 1'den büyük ve q² ≤ n koşulunu sağlayan değerleri denemek yeterlidir. Bu, gereksiz denemeleri azaltır; çünkü bir sayı için bölen aranırken belli bir sınırdan büyük değerleri kontrol etmek yeni bilgi vermez. Küçük tam sayılarda asal olmayan tüm sayıları tek tek denemek yerine, sadece asal bölenleri denemek daha uygundur. Böylece kontrol edilen adaylar azalır ve işlem daha verimli ilerler.
Örnek ayrışma
Verilen örnekte 1386 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hâli 2 · 3² · 7 · 11 olarak bulunur. Bu gösterim, sayının asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazıldığını anlatır. Üslü gösterimde yer alan 3², 3 çarpanının iki kez tekrar ettiğini belirtir; diğer çarpanlar ise birer kez yer alır.